מסדי נתונים רלציונים התצפית של כל משתמש על פי היישום ייצוג הנתונים על פי המודל כטבלאות שמירה בפועל על הדיסק
|
|
- Λυσιστράτη Λειβαδάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 מסד נתונים רלציוני פרק 8 הדרך המקובלת לטפל במאגרי נתונים גדולים. מוגדרות פעולות אבסטרקטיות על הנתונים באופן שאינו תלוי במימוש. בקורס נלמד כיצד לממש את המסד והפעולות האלו. נלמד: א. הפעולות הבסיסיות על מסדי נתונים. ב. כיצד משלבים פעולות שונות (אלגברה רלציונית). ג. כיצד ממשים פעולה בודדת. ד. כיצד ממשים שילוב של פעולות תחת מגבלות זיכרון. 2 מערכות קבצים 1 מערכות קבצים (טבלאות) יחסים מסדי נתונים רלציונים במודל הרלציוני, מסתכלים על הנתונים כאילו היו מסודרים בטבלה. כל שורה בטבלה תיקרא רשומה, שורה או n הי-.(n-tuple) המודל הרלציוני הוא דרך להתבונן על נתונים, שבה מנתקים את המימוש מהאופן שבו הנתונים מוצגים. תחום (domain) : קבוצה (סופית או אינסופית) המתארת את כל הערכים ברשומה. עבור שדה כלשהו האפשריים תצפית רמת רמה לוגית רמה פיסית התצפית של כל משתמש על פי היישום ייצוג הנתונים על פי המודל כטבלאות שמירה בפועל על הדיסק כל המחרוזות באורך 20 מיקוד (כל המספרים בין ל ) תאריך ) ( מספר שלם 4 מערכות קבצים 3 מערכות קבצים
2 יחס יחס (רלציה, טבלה) יחס :(relation) רב-קבוצה bag) (multiset, של איברים של המכפלה הקרטזית של התחומים המופיעים בסכמה. שם פרטי שנת הולדת פרקים ירמיהו ישעיהו שמואל יונה יחזקאל מערכות קבצים prophets prophets string date integers שם היחס: בדוגמא הקודמת - prophets התכונות ) :(attributes למשל - {שם פרטי, שנת-הולדת, פרקים ותחומיהם. :(relation שם היחס והתכונות שלו, scheme) היחס סכמת דוגמאות: Prophets(chapters, birth_year, name) Branch(b_name, assets, b_city) Customer(c_name, street, c_city) Deposit(b_name, account_number, customer_name, balance) Borrow(b_name, loan_number, loan_number, c_name, amount) 6 מערכות קבצים אלגברה של יחסים (אלגברה רלציונית ( במערכות מסדי נתונים, שאילתות נכתבות בשפה שמיועדת למשתמשים אנושיים במטרה לפשט למשתמשים כתיבת שאילתות, למשל ב- QL : סדר הרשומות ביחסים בעיקרון, אין סדר לרשומות ביחס והפעולות על יחסים לא מושפעות מאופן שמירת היחסים בדיסק, כחלק מהעיקרון של הפרדה בין המודל לאופן המימוש. בפועל, סדר שמירת הרשומות בדיסק משפיע על המימוש של חלק מהפעולות. לעיתים, משתמשים מעוניינים בתוצאה ממוינת או רק ברשומות הראשונות של יחס (על פי מיון כלשהו) ELECT name FOM Prophets WHEE birth_year<-500; אלגברה רלציונית כוללת אוסף של פעולות על יחסים שקל לממש. שאילתות ב- QL מתורגמות לאלגברה ומבוצעות. (בדומה לתרגום שפה עילית כמו C לשפת מכונה). 8 מערכות קבצים 7 מערכות קבצים
3 כפילות של רשומות פעולות על יחסים פעולות שמחזירות יחס חדש \ איחוד, חיתוך, הפרש, מכפלה select בוחר חלק מהרשומות π הטלה (projection) בוחר חלק מהעמודות π החלפת שם של שדה A B δ הפוך את היחס לקבוצה (השאר עותק אחד מכל רשומה) join צירוף יחסים sort מארגן מחדש את היחס על ידי מיון על פי תכונה או מספר תכונות פונקציות הקבצה על עמודה המכילה מספרים sum max, min, average, מחזירות מספר פונקציות הקבצה על טבלה count מחזירה מספר במודל התיאורטי, יחס הוא קבוצה, כלומר אין כפילות של רשומות. במערכות לניהול מסדי נתונים טבלאיים, יחס הוא רב קבוצה (רשומה יכולה להופיע יותר מפעם אחת). בקורס זה, נניח כי כל הפעולות הן פעולות על רב-קבוצות. אם יודעים לממש את הפעולות על רב קבוצות, קל לייצר מהן מימוש של פעולות על קבוצות (כיצד?) 10 מערכות קבצים 9 מערכות קבצים חיתוך איחוד d e f = { r: r or r d e f = { r: r and r דורש סכמות זהות d a f d a f 12 מערכות קבצים דורש סכמות זהות מספר המופעים של רשומה הוא סכום מספר המופעים בשני היחסים 11 מערכות קבצים a c e מספר המופעים של רשומה הוא המינימום על מספר המופעים בכל אחד מהיחסים
4 \ = { r: r and r \ c b e a c e הפרש \ מכפלה קרטזית דורש סכמות זהות מספר המופעים של רשומה הוא ההפרש בין מספר המופעים ביחס הראשון ומספר המופעים ביחס השני (אך לא פחות מאפס) 13 מערכות קבצים = {( r 1,r 2,,r n,s 1,,s m ): r and s B1 a c B2 b B1 B2 a b a b a b c b c b c b b אם לסכמות יש תכונה משותפת, נשנה את שמות התכונות (למשל (.a,.a מספר הרשומות בתוצאה: (מספר רשומות ) (מספר רשומות ) 14 מערכות קבצים select המקיימות תנאי נתון C. σ C () = {r : r satisfies C c c c σ a A2 b() σ A2=b () בחירה σ select בוחר את הרשומות הפעולה מאפשרת להגדיר שאילתות טווח [a,b] ע"י π הטלה projection מצמצמת את היחס לחלק מהעמודות π l1, l2,, ln ()={(r l1,r l2, r ln ) : (r 1,,r n ) π A1,A3 () π A2 () A1 a a c A3 c c d A2 b b b 16 מערכות קבצים 15 מערכות קבצים
5 צירוף join יחס חדש שמתקבל משני יחסים שיש להם תכונות בעלות אותו השם. היחס מתקבל מצירוף הרשומות שמסכימות על התכונות בעלות השמות המשותפים. דוגמה: Q(name, address, tel_no) = (name, address) (name, tel_no) נגדיר קודם join בין שורות: עבור יחסים, שקבוצת התכונות המשותפות להן היא A יהיו r, s כך ש- r.a = s.a ו- s r היא השורה שמתקבלת משרשור r s תוך שמירת עותק אחד בלבד של תכונות A. s = (Homer impson, ) r = (Homer impson, 123 Fake t. pringfield) r s = (Homer impson, 123 Fake t. pringfield, ) צירוף - join (המשך) נגדיר join בין היחסים, כאשר attr() :A = attr() = {r s : r, s, π A (r) = π A (s) דוגמה: 18 מערכות קבצים 17 מערכות קבצים A B C A B C D C D d1 c d1 a1 c a1 c d1 c2 d2 a1 c1 a1 d c2 d2 c2 d3 a1 d c2 a1 d c2 d3 (join) דוגמה לשימוש בצירוף - join הגדרה מתמטית של צירוף נתונים יחסים rו- sעם סכמות ו- ועם קבוצת תכונות משותפת A. הצירוף מוגדר כך: = π (/) (σ A=A (ρ A A (r) s)) יחס מכיל בכל רשומה מס' לקוח וסכום שיש לחייב. יחס מכיל עבור כל לקוח מס' לקוח, שם וכתובת. החיוב. וסכום כתובתו, לכל חיוב את שם הלקוח, מספרו, יכיל 20 מערכות קבצים 19 מערכות קבצים
6 פרמטרים לחישובי זמנים אלגוריתמים לביצוע פעולות על יחסים מעבר יחיד (לא תמיד ניתן ליישום). לולאות מקוננות. אלגוריתמים מבוססי מיון. מבוססי ערבול. אלגוריתמים אלגוריתמים המשתמשים באינדקס קיים של יחס. יהי יחס. מספר הבלוקים (גזרות) של = B(). מספר הרשומות של = T().V()=T(δ()) ז"א, מספר הרשומות השונות של = V() מספר הבלוקים שניתן להחזיק בזיכרון הראשי. = M לא נביא בחשבון את הפעולות הדרושות לכתוב את התוצאות על הדיסק. בדרך-כלל, תוצאות הביניים יועברו לשלב הבא (pipeline) ולא ייכתבו על הדיסק. אם זו הפעולה האחרונה, אז גודל הפלט אינו תלוי בשיטת החישוב ולכן לא משפיע על בחירתה. 22 מערכות קבצים 21 מערכות קבצים ביצוע איחוד במעבר יחיד הקלט והפלט הן רב-קבוצות לא ממוינות. 23 מערכות קבצים Union(relation, relation ) { forall r { read r; output r; forall s { read s; output s; סיבוכיות זמן: B() B() + סיבוכיות מקום: (1)O פונקצית הקבצה על עמודה קל לבצע max, min, average ודומיהם במעבר יחיד. סיבוכיות זמן: double average(relation, column A) { int count = 0; value sum = 0; forall r { read r; sum = sum + r.a; count = count + 1; return sum / (double) count; B() 24 מערכות קבצים
7 relation delta(relation ) { search_structure = ; forall r { במעבר יחיד read r; if (r search_structure) { insert r into search_structure; output r; ביצוע δ אפשרי רק אם - 4 M B(δ()) ה- 4 -עבור חוצצים: שני חוצצי קלט ושניים לפלט פעולות בינריות במעבר יחיד היחס הקטן מבין השניים. אפשר לממש את search_structure כעץ חיפוש או כטבלת ערבול. 25 מערכות קבצים B(δ () ) M יהי ניתן לבצע את הפעולה רק כאשר (נתעלם מהחוצצים הדרושים לקריאת ולכתיבה) \ דוגמה: נשמור עותק מכל רשומה של ( δ(עם מונה למספר המופעים שלה. נעבור על. לכל r ב-, אם r מופיעה ב- אז מקטינים את המונה באחד. בסוף נחזיר את כל איבר של שהמונה שלו נותר חיובי, בריבוי המתאים. 26 מערכות קבצים =(20, 11, 30, 20,11,11) =(11,40,20,11, 20, 20, 50, 40) 11:3, 20:2, 30:1 11:2, 20:2, 30:1 11:2, 20:2, 30:1 11:2, 20:1, 30:1 11:1, 20:1, 30:1 11:1, 20:0, 30:1 11:1, 20:0, 30:1 דוגמה \ בתחילה נייצג את קוראים את :11 :40 :20 :11 :20 :20 קוד לביצוע הפרש \ 27 מערכות קבצים relation Difference(relation, relation ) { search_structure = ; forall s { read s; if s search_structure { insert s into search_structure; search_structure[s].count = 0; search_structure[s].count ++; forall r { read r; if (r search_structure) and (search_structure[r].count > 0) search_structure[r].count --; forall s search_structure repeat search_structure[s].count times output s; 28 מערכות קבצים
8 צירוף כאשר נכנס לזיכרון סבוכיות ההפרש כאשר לזיכרון (נכון גם לחיתוך) נכנס B() B() + B() נחשב את באמצעות שמירת עותק של כל רשומה של במבנה חיפוש, כאשר מפתח החיפוש הוא השרשור של השדות המשותפים (נסמנו ב- A ). נעבור על כל רשומות (כל רשומה כמידת ריבויה). לכל r ב- נחפש את r.a במבנה החיפוש, ולכל רשומה s שנמצא (כלומר שעבורה (r.a = s.a נוציא את r s לפלט. סיבוכיות זמן: סיבוכיות מקום: 30 מערכות קבצים 29 מערכות קבצים דוגמה דוגמה A B B C A B B C a a2 a1 b2 b c1 c2 c3 פלט (a,,c2) (a,,c3) a a2 a1 b2 b c1 c2 c3 a6 c4 a6 c4 a4 a5 (בזיכרון הראשי) a4 a5 32 מערכות קבצים (בדיסק) 31 מערכות קבצים
9 דוגמה דוגמה A B B C A B B C פלט --- a a2 a1 b2 b c1 c2 c3 פלט (a1,,c2) (a1,,c3) a a2 a1 b2 b c1 c2 c3 a6 a4 a5 c4 באופן דומה נמשיך עם (a6,),(a4,),(a5,) מול (,c4) a6 a4 a5 c4 34 מערכות קבצים 33 מערכות קבצים δ() סיכום: אלגוריתמי מעבר יחיד צירוף כאשר נכנס לזיכרון הפעולה דרישות הזיכרון גישות דיסק מספר גישות לדיסק: B() + B() סיבוכיות הזמן הכוללת תלויה גם בגודל הפלט. ממוצע π, B() O(1) σ, B() + B() O(1) B() δ() אחד δבמעבר B() + B() δ() \ השיטה היעילה ביותר מבחינת זמן דרישות זיכרון גבוהות 36 מערכות קבצים 35 מערכות קבצים
10 לולאות מקוננות nested loops אלגוריתמים לביצוע פעולות על יחסים מעבר יחיד (לא תמיד ניתן ליישום). לולאות מקוננות. אלגוריתמים מבוססי מיון. מבוססי ערבול. אלגוריתמים אלגוריתמים המשתמשים באינדקס קיים של יחס. אלגוריתם נאיבי לביצוע פעולות בינריות בין יחסים גדולים: for each tuple s in { read s; for each tuple r in { סיבוכיות זמן: T()T() שיפור: אם נקרא אתבלוק בלוק נקבל T()B() read r; process tuples r and s 38 מערכות קבצים 37 מערכות קבצים צירוף בלולאות מקוננות יישום האלגוריתם הכללי לביצוע join של רלציות גדולות for each tuple s in { read s; for each tuple r in { read r; if s and r join to make a tuple t output t; סיבוכיות זמן: T()B() צירוף בלולאות מקוננות: שיפור כדאי לנצל 4-M בלוקים של זיכרון לאחסון. איטרציה ראשונה: קרא 4-M בלוקים של קרא את כל (עם חוצצים כפולים) ולכל רשומה r ב- חפש בין הבלוקים של שבזיכרון את כל הרשומות s שעבורן מתקיים: r.a = s.a הוצא את r s לפלט מספר גישות דיסק לכל מחזור: B() (4-M) + מספר המחזורים: B()/(M-4) 40 מערכות קבצים 39 מערכות קבצים
11 צירוף משופר בלולאות מקוננות: מקרה כללי מספר גישות דיסק למחזור: מספר המחזורים: מספר כולל של גישות דיסק : 41 מערכות קבצים (M-4) + B() B()/(M-4) B()/(M-4) ((M-4) + B()) = B() + B() B() /(M-4) B() B() / M אם אחד היחסים גדול בהרבה מהשני, נעדיף שהיחס הגדול יהיה. מדוע? בהנחה ש- >> 4 M צירוף משופר בלולאות מקוננות while ( is not exhausted) { read the next M-4 blocks of and put them in a search structure ordered by A; forall blocks b of { read block b; forall tuples r in b { search r.a in the search structure; forall tuple s found output s r; 42 מערכות קבצים חיתוך מבוסס מיון אלגוריתמים לביצוע פעולות על יחסים מעבר יחיד (לא תמיד ניתן ליישום). לולאות מקוננות. אלגוריתמים מבוססי מיון. מבוססי ערבול. אלגוריתמים אלגוריתמים המשתמשים באינדקס קיים של יחס. לעתים קרובות כדאי למיין את הקבצים קודם. אם הקבצים של ו- ממוינים לפי המפתחות (ובאותו סדר), מבצעים מיזוג עבור על ועל. הכנס לזיכרון את הרשומות הראשונה s של ו- r של. אם r s< (לפי סדר המיון) החלף את s ברשומה הבאה של (ללא פלט). אחרת אם r s> החלף את r ברשומה הבאה של. אחרת הוסף לפלט עותק אחד של הרשומה,r=s והחלף את r ואת s ברשומות הבאות המתאימות להם. איך מבצעים איחוד שומר מיון? 44 מערכות קבצים 43 מערכות קבצים
12 צירוף מבוסס מיון היכן השתמשנו בהנחה על M? נניח גם ש- ו- ממויינים לפי A, קבוצת התכונות המשותפות ל- ול- ונניח שלאף ערך a של A לא מתקיים. σ A=a () > M עבור על ועל. הכנס לזיכרון את הרשומות הראשונה s של ו- r של. ברשומה הבאה של s החלף את π A(r) אם A(s) >π אחרת אם (s) π A (r) <π A החלף את r ברשומה הבאה של אחרת קרא לזיכרון את כל הרשומות של עבורן (s) π A ( s) π= A לכל רשומה r של עבורה (s) :π A (r ) =π A לכל s בזיכרון הוצא לפלט את הרשומה s r סיבוכיות: B() B() + בלי לקחת בחשבון את הזמן הדרוש לכתיבת הפלט : 45 מערכות קבצים B( ) אלגוריתמים מבוססי מיון: הפעולה מספר גישות לדיסק לקריאת קלט סיכום מספר הבלוקים בזיכרון הראשי 1 B() δ 1 1 Min, Max (שומר מיון) * 2 B()+B(),, / 46 מערכות קבצים * 2 B()+B() * בהנחה שבכל יחס, כל הרשומות הזהות בתכונות הצירוף נכנסות בבלוק שימוש בערבול: הרעיון הבסיסי אלגוריתמים לביצוע פעולות על יחסים מעבר יחיד (לא תמיד ניתן ליישום). לולאות מקוננות. אלגוריתמים מבוססי מיון. מבוססי ערבול. אלגוריתמים אלגוריתמים המשתמשים באינדקס קיים של יחס. כאשר רוצים לבצע פעולה על כמה יחסים: במעבר מקדים מחלקים את כל אחד מהיחסים לדליים באמצעות פונקצית ערבול (hash) מתאימה. כל דלי יכיל מספר בלוקים; וכאשר החוצץ של דלי יתמלא הוא ייכתב לדיסק. במעבר העיקרי, בכל שלב: מביאים לזיכרון את הדליים המתאימים של היחסים, מחשבים את הפלט על סמך הדליים שנמצאים בזיכרון. 48 מערכות קבצים 47 מערכות קבצים
13 δ בעזרת ערבול מספר הדליים בחלוקה הקובץ המקורי: 53,42,73,81,22,53,91,61,53,11,92,91 מעבר ראשון: נחלק את הקובץ לדליים (רשומות זהות ממופות לאותו דלי). 1: 81,91,61,11,91 2: 42,22,92 3: 53,73,53,53 מעבר שני: נעבור על כל הדליים. לכל אחד: נקרא את כל הדלי לזיכרון נבצע δעל הדלי (נשמור עותק אחד מכל רשומה): 1: 81,91,61,11,91 2: 42,22,92 למה צריך יותר ממעבר אחד? 3: 53,73,53,53 למה לא לסלק את הכפולים כאשר מנסים להכניסם לדלי? 50 מערכות קבצים 49 מערכות קבצים כדי לחלק את הקובץ לדליים, צריך להשתמש בחוצצים, בדומה להקצאת חוצצים לצורך מיזוג, אלא שכאן יש מקור קלט אחד ו- k דליי פלט. עבור: שצריך שני חוצצים לקלט ושני חוצצים לכל דלי, כיוון M גודל זיכרון (בחוצצים) k מספר הדליים צריך להתקיים: + 2 2k M ז"א M/2-1 k δ בעזרת ערבול: המשך כזכור B() הוא מספר הבלוקים (חוצצים) שדורש הקובץ. עבור B() > M (אחרת מספיק מעבר אחד, כמו שראינו) מעבר ראשון: נחלק את הקובץ לדליים. מעבר שני : נעבור על כל הדליים. קרא דלי שלם לזיכרון. בצע δעל הדלי (כתוב העתק אחד מכל רשומה). אלגוריתם זה עובד רק אם כל הדלי נכנס לזיכרון גודל הדלי M שני מעברים יספיקו רק אם,B()/k M ולכן ובסך הכל, 3B() גישות דיסק 2 51 מערכות קבצים M M B( ) km = M δ בעזרת ערבול: המשך עבור דליים גדולים שלא נכנסים לזיכרון: במעבר הראשון נחלק ל- 2-1/M =k דליים, במעבר הבא, נחלק כל דלי ל- k דליים,... שגודלם אינו עולה על M. דליים כל דלי ל- k נחלק ה- h במעבר מספר המעברים : הזמן : h = log k (B()/M) (2h+1)B() גישות דיסק 52 מערכות קבצים
14 זמן החיתוך בעזרת ערבול חיתוך בעזרת ערבול for all s write s to bucket B [h(s)]; for all r write r to bucket B [h(r)]; אנו מניחים שלכל,ii הדליים iו-[ i ] B [i] i B נכנסים לזיכרון. 2B() 2B() B() B() קריאת וחלוקתו לדליים קריאת וחלוקתו לדליים קריאת דליי קריאת דליי זמן: for i=1 to number_of_buckets { find the intersection of B s [i] and B r [i] using the single pass algorithm and produce the sub-relation T i 3B() + 3B() סה"כ output T i 54 מערכות קבצים 53 מערכות קבצים גישות לדיסק 2B() 2B() Σ i (B( i )+B( i )) 3B()+3B() צירוף בעזרת ערבול תהי A קבוצת התכונות המשותפות חלק את לדליים 1, k ע"פ h(s.a) כך שלכל B( i ) M :i h(r.a) ע"י 1, k לדליים את חלק עבור i=1,..,k חשב (כיצד?) סה"כ i i סיכום פעולות בעזרת ערבול עבור B M 2 / 2 מספר גישות הדיסק הוא: 3B() δ חיתוך, צירוף, וכו' 3B() 3B() + עבור B גדול יותר, נחליף את המקדם 3 ב- 5 (מדוע?) 56 מערכות קבצים 55 מערכות קבצים
15 שימוש באינדקס אלגוריתמים לביצוע פעולות על יחסים מעבר יחיד (לא תמיד ניתן ליישום). לולאות מקוננות. אלגוריתמים מבוססי מיון. מבוססי ערבול. אלגוריתמים אלגוריתמים המשתמשים באינדקס קיים של יחס. אינדקס יכול לסייע בחישוב יעיל של חלק מהפעולות. דוגמה: עבור σכאשר C C(x) הוא a x b נקבל שאילתת טווח. חיתוך: כאשר קטן וקיים אינדקס על : לכל רשומה ב- נבחן באינדקס אם היא קיימת גם ב-. סיבוכיות זמן: O(T()) כדאי רק כאשר גדול מאד. הערה: אם ממוין, אז ייתכן ששתי קריאות עוקבות תתייחסנה לאותו בלוק של, ומספר הגישות יהיה קטן יותר. 58 מערכות קבצים 57 מערכות קבצים שימוש באינדקס לביצוע צירוף נניח שיש לבצע Y. עבור, וקיים אינדקס צפוף של (X,Y) (Y,Z) לכל רשומה r חפש את r.y ב- שעבורה s כל רשומה עבור הוצא את s r לפלט. 59 מערכות קבצים s.y = r.y סיבוכיות קריאת.B() : בממוצע לכל ערך של r.y יהיו T()/V(,Y) רשומות של (כאשר V(,Y) הוא מספר הערכים השונים של שדות Y ב- ) סה"כ: T()/V(,Y) T() השפעת גודל הזיכרון הראשי לא תמיד עומד לרשותנו מספיק זיכרון, לעתים, הזיכרון צריך להספיק למספר פעולות שנעשות במקביל. לכן נאלץ לחלק את הזיכרון בין הפעולות השונות, או לבצע חלק מהפעולות באופן סדרתי. פעולות שלא ניתן לבצע בפחות זיכרון: פעולות של מעבר יחיד פעולות של שני מעברים (מיון, ערבול, וכו'). פעולות שניתן לבצע בפחות זיכרון (תוך כדי פגיעה בזמן): לולאות מקוננות אפשר להרשות יותר מעברים בפעולות מבוססות מיון או ערבול. 60 מערכות קבצים
16 אלגברה רלציונית אפשר לכתוב כל מיני ביטויים אלגבריים עם הפעולות שהכרנו, למשל: הביטוי: π name,addr (σ title= gone with the wind and gender = F (Movietar tarsin)) עם הסכמות: Movietar(name, addr, gender), tarsin(title, year, name) מחזיר את שמות כל השחקניות של "חלף עם הרוח" ואת הכתובות שלהן. ELECT name, addr FOM Movietar, tarsin WHEE title= gone with the wind and gender=f and Movietar.name=tarsIn.name; עץ של ביטוי באלגברה רלציונית תרגום של 61 מערכות קבצים π name,addr (σ title = Gone, gender = F (Movietar tarsin)) עץ הביטוי עץ שקול π name,addr π name,addr σ title= Gone and gender = F σ gender = F σ title= Gone Movietar tarsin Movietar tarsin π name,addr (σ gender = F (Movietar) σ title= Gone (tarsin)) 62 מערכות קבצים הקדמת ביצוע של פעולת בחירה ביצוע של פעולת בחירה מקטין את מספר הרשומות ביחס, וכדאי להיפטר מרשומות כמה שיותר מוקדם. נרצה להוריד את הפעולה בעץ הביטוי. פעולות על עץ הביטוי שימוש בשוויונות של אלגברה רלציונית משנות את מבנה העץ, לדוגמה: אסוציאטיביות של צירוף: ( ) T = ( T ) קומוטטיביות של צירוף: = הקדמת ביצוע של בחירה: σ C ( ) = σ C () = σ C () = σ C () σ C () σ title = Gone, gender = F (Movietar tarsin)) = σ gender = F (Movietar) σ title= Gone (tarsin) אם תנאי הבחירה רלוונטי ליחסים המתאימים: σ C ( ) = σ C () = σ C () = σ C () σ C () σ gender = F σ title= Gone פעולת פעולת תקטין (במחצית?) את גודל היחס תקטין בהרבה את היחס אגף ימין של הצירוף ייכנס כולו לזיכרון. 64 מערכות קבצים 63 מערכות קבצים
17 יותר מתוחכם: הרמה לשם הורדה Movie(title, year, studio), tarsin(title, year, name) π name,studio (σ year = 1996 (Movie) tarsin) עץ שקול עץ הביטוי π name,studio π name,studio הקדמת הטלות המוטיבציה: הטלה מקטינה את גודל הרשומות, וכדאי להקטין את הרשומות כמה שאפשר יותר מוקדם. הביטוי? בעץ לא כדאי להוריד את ה- π מתי σ year=1996 Movie tarsin σ year=1996 Movie σ year=1996 tarsin כאשר ליחס יש אינדקס, ביצוע ההטלה ייצור יחס חדש חסר אינדקס. עבור יחס ממוין, ההטלה אינה בהכרח ממוינת. π name,studio (σ year = 1996 (Movie) σ year = 1996 (tarsin)) 66 מערכות קבצים 65 מערכות קבצים δ הערכת גודל התוצאה הקדמת פעולת δמקטינה את מספר הרשומות, על-כן, כדאי לבצעה מוקדם ככל האפשר. δ( ) = δ (δ() ) = δ ( δ()) = δ() δ() ואפילו יותר מפעם אחת מספר גישות הדיסק לביצוע פעולה תלוי בגודל הקלט, אבל... כמו הטלה, δעלולה לגרום לאובדן של אינדקס, כך שלפעמים הקדמת הפעולה אינה כדאית. 67 מערכות קבצים כאשר מחשבים זמן ביצוע לעץ, זמן הביצוע של צומת פנימי תלוי בגודל הפלט של בניו, כן יש לחשב את גודל התוצאה של ביצוע הפעולות הרלציוניות ועל המתאימות להם. בד"כ, אי-אפשר לחשב מראש את הגודל במדויק, ולכן מטרתנו היא לקבל הערכה. דוגמה להערכת גודל תוצאה בהטלה π: אם ליחס יש n רשומות, ובשדות שנבחרו יש f בתים, אזי הגודל של ( π(הוא n f בתים 68 מערכות קבצים
18 הערכת גודל תוצאת בחירה σ סימון (תזכורת): מספר הערכים השונים שיש לתכונה A V(,A) = T(δ(π A ())) תוחלת מספר הרשומות עם ערך ספציפי הוא E(T(σ A=x ())) = T() / V(,A) חישוב זה אינו תלוי בהתפלגות הערכים בתוך, אלא רק בהנחה שהערך x בפעולת ה- σנבחר בהתפלגות אחידה (יוניפורמית). לדוגמה, אם לתכונה A שני ערכים ( V(,A) = (2 a,b ומתקיים: P(π A () = a)= 0.9, P(π A () = b)= 0.1 נבחר יוניפורמית מתוך,a,b אז E(T(σ A=x ())) = ½ T(σ A=a ()) + ½ T(σ A=b ()) = ½ (0.9 T()) + ½ (0.1 T()) = T() /2 = T() / V(,A) הערכת גודל שאילתות טווח T(σ A x ()) אם ההתפלגות על התחום ידועה: ונניח ש- x 69 מערכות קבצים E(T(σ A x ())) = P(A x) T() אחרת נניח שההתפלגות אחידה: :A = [a,b] עבור תחום רציף E(T(σ A x ())) = (x-a)/(b-a) T() עבור תחום סופי n A= {a 1,,a כאשר : a 1 < a 2 < <a n E(T(σ A ai ())) = (i / n) T() באופן שרירותי שמתקיים: T(σ A x ()) = ⅓T() T(σ A>x ()) = ⅔T() עבור תחום בגודל לא-ידוע, נניח 70 מערכות קבצים 2 הערכת גודל תוצאת δ הערכת גודל שאילתות טווח נביט ביחס בעל סכמה ) n (A 1,, A מתוך ההגדרה V(),T(δ()) = אבל בדרך-כלל V() אינו ידוע. מה עם ())? T(σ x A y σ x A y () = σ x A (σ A y ()) עבור תחום לא ידוע נניח ש- 2/9 מהרשומות מקיימות את התנאי ע"פ הבא: ה"נימוק" T(σ x A y ()) = ⅔ T(σ A y ()) = ⅔ ⅓ T() = (2/9)T() V (, A ) = V( π 1 V() 1 i n V() = min V(, 1 i n i V(, A i A i ()) A i ) 1 ), T() 2 נסמן מתקיים כלל אצבע: 72 מערכות קבצים 71 מערכות קבצים
19 (Y,Z) הערכת גודל צירוף (X,Y) הערכת גודל צירוף (Y,Z) (X,Y) הנחות: Y מכיל תכונה בודדת p(y 1 ) p(y n ) ממוינים כך ש- Y ערכי y 1,,y n הם רישא של הסדרה Y ערכי y i V(Y,) y i+1 V(Y,) כלומר, דוגמה: נסתכל על ההתפלגות של אותיות באנגלית e, t, a, o,, q, z לפי סדר שכיחות (e היא האות הנפוצה ביותר, ו- z הנדירה ביותר) נניח שהשדה Y מכיל אות בודדת בהתפלגות הנ"ל. אז ההנחה אומרת שאם V(Y,) o אז גם V(Y,) e,t,a הנחות: Y מכיל תכונה בודדת p(y 1 ) p(y n ) האפשריים ממוינים על פי הסתברות Y ערכי y 1 y,, n הנמצאים בפועל ביחסים הם הרישא של הסדרה Y ערכי y i V(Y,) y i+1 V(Y,) כלומר, מכאן שאם V(,Y) V(,Y) אז () π Y () π Y π X ( ) = π X () שמירת ערכים: לכל התכונות של באופן סימטרי, לכל התכונות של 74 מערכות קבצים 73 מערכות קבצים (Y,Z) (X,Y) השוואת אלטרנטיבות לחישוב הערכת גודל צירוף דוגמה: חישוב עבור U(Z,W) (X,Y) (Y,Z) אם V(,Y) V(,Y) אז נעריך כי: ניתן לשלב זוג רשומות r, s בהסתברות V(,Y) 1/ רשומות מ- T()/ V(,Y) ישתלב עם s בממוצע E(T( )) = T() T()/V(,Y) (X,Y) (Y,Z) U(Z,W) T()=1000 T()=2000 T(U)=5000 E(T( אם,V(,Y)>V(,Y) אז T() T()/V(,Y) )) = V(,Y) = 20 V(,Y) = 50 V(,Z) = 100 V(U,Z) = 500 E(T( :(X,Y) ראשית, (Y,Z) E(T( )) = T() T()/max{V(,Y),V(,Y) = 2,000 1,000 / 50 = 40,000 ובאופן כללי: )) = T() T()/max{V(,Y),V(,Y) 76 מערכות קבצים 75 מערכות קבצים
20 הערכת U(Z,W)) T(((X,Y) (Y,Z)) T(( ) U) = T ( ) T(U) /max{v (, Z), V(U, Z) V (, Z) = V(,Z) = 100 בגלל ההנחה על שמירת הערכים לפי הנתונים V(U, Z) = 500 T(U) = 5,000 לכן: T (( ) U) = 40,000 5,000 / max{100, 500 = 400,000 הערכת((( U(Z,W T((X,Y) ((Y,Z)) T ( U) = T() T(U) / max{v(, Z), V(U, Z) = 2,000 5,000 / 500 = 20,000 V ( U, Y) = V(,Y) = 50 בגלל ההנחה על שמירת ערכים T( ( U)) = T() T( U)/max{V(,Y),V( U,Y) = 1,000 20,000/max{20, 50 = 400,000 כיוון ש (U ), ( U = ) קיבלנו אותו גודל בשתי הדרכים 78 מערכות קבצים 77 מערכות קבצים הערכה טובה יותר של גדלי פעולות באמצעות היסטוגרמות עבור תחום דיסקרטי קטן n A={a 1 < <a נשמור את מספר הרשומות שבהן מופיע ערך a i A n i =T(σ (A)=ai ()) σ (A)<x () = a i x n i σ (במדויק): הערכת גודל צירוף באמצעות היסטוגרמה נניח שנתון היחס weather), (dayוברצוננו month, להעריך את הגודל נחשב את גודל הערה: באופן מעשי, לא נעדכן את ההיסטוגרמה אחרי כל עדכון של היחס. כאשר ההיסטוגרמה לא מעודכנת, הביטוי הנ"ל הוא רק הערכה..T(π weather (σ month=jan ()) π weather (σ month=july ())) ביחסים ()) πו- weather (σ Jan ()) πיש weather (σ July 31 רשומות כ"א Weather Jan July / 31 = Tעבור הצירוף. now 10 0 ain 15 1 Fair 5 10 sunny 1 20 ולכן נקבל את ההערכה אך עבור ההיסטוגרמה הנתונה משמאל, נקבל את ההערכה.T = = מערכות קבצים 79 מערכות קבצים
21 הערכת זמן החישוב על-פי גודלן של תוצאות ביניים הערכה של גדלי פעולות, התחום גדול כאשר נבחר < w 1 < < w m נעריך את גודל σ: w 0 i ונשמור את n i = T(σ wi<(a) w(i+1) ()) σ (A) x () = a x n i דרך חלופית, חלוקה לתת תחומים, למשל מאיונים (percentile) : {x : x נמצא a 1,,a 99 כך שלכל i מתקיים: a i i = T ( ) 100 נשתמש בהערכה: 81 מערכות קבצים σ (A ) x m ax{ i : x a i ( ) = T ( ) 100 כדי לקבל הערכה גסה לזמן החישוב, נסכם את גודלי תוצאות הביניים (בלי העלים והשורש). למה לא סופרים גישות דיסק? שונים מתקבלות תוצאות שונות. חישוב עצי עבור דוגמא : חישוב U(Z,W) (X,Y) (Y,Z) כמקודם. ( ) U) א. E(T( )) = 40,000 תוצאת הביניים: ( U) ב. תוצאת הביניים: = 20,000 U)) E(T( לפי מדד זה שיטה ב' טובה יותר 82 מערכות קבצים Pipeling בחירת עץ החישוב ), (U יש שתי אפשרויות עבור פעולות אסוציאטיביות: על-מנת לבצע U ב. א. לכתוב את U על דיסק ולקרוא אותו שוב לצורך חישוב הצירוף שבשורש (עם ). לבצע :pipelining להעביר כל שורה מיד עם היווצרותה לתכנית שתבצע את הצירוף שבשורש. U = אך ייתכן U U עבור פעולות קומוטטיביות ואסוציאטיביות שלושת העצים שקולים. ביצוע pipeline דורש יותר זיכרון. אם אין מספיק זיכרון, ייתכן שנאלץ לבצע אלגוריתם יעיל פחות. 84 מערכות קבצים 83 מערכות קבצים
22 שימוש בעץ חישוב שמאלי עץ שמאלי מאפשר ביצוע :pipeline בכל צומת, היחס השמאלי מתקבל מחישוב והימני נקרא מהדיסק Bushy יש n! עצים שמאליים עם n עלים (נקבעים לפי סדר העלים) היוריסטיקה: לסדר את היחסים לפי גודלם היחס הקטן ביותר יתאים לעלה השמאלי ביותר, כך שתוצאות הביניים תהיינה קטנות ככל הניתן. בחזרה לדוגמה הקודמת אופטימלי עץ 86 מערכות קבצים 85 מערכות קבצים עץ שמאלי (X,Y) (Y,Z) U(Z,W) T()=1000 T()=2000 T(U)=5000 העץ המתקבל מתוך ההיוריסטיקה אופטימלי אינו U Estimated cost = 40,000 E(T( )) = T()T()/max{V(,Y),V(,Y) = 2,000 1,000 / 50 = 40,000 U Estimated cost = 20,000 דוגמה מסכמת: תכנון מפורט (1) דוגמה מסכמת W(A,B) X(B,C) Y(C,D) Z(D,E) T V A: 20 B: 50 C: 50 D: 40 V B: 60 C: 100 D: 50 E: 100 נבצע את 1=W X במעבר יחיד. את רשומות 1 נעביר ישירות לפעולה הבאה. את 2 = 1 Y נבצע ע"י ערבול: נחלק את 1 לדליים שייכתבו על הדיסק; לדליים; את רשומות Y נחלק נבצע צירוף בין הדליים המתאימים של Y ושל 1; ונעביר לפעולה הבאה. את 2 Z נבצע שוב ע"י ערבול: נחלק את רשומות 2 לדליים; נחלק את רשומות Z לדליים; נבצע צירוף בין הדליים המתאימים של Z ושל 2; את התוצאה נעביר לפלט. 88 מערכות קבצים יש לבצע W X Y Z נשתמש בעץ שמאלי: ((W X) Y) Z נעריך תחילה את זמן הצירוף ע"י חישוב גדלי תוצאות הביניים גודל :1 = W X 333 רשומות גודל :2 = (W X) Y 1000 רשומות מחיר: = מערכות קבצים
23 דוגמה מסכמת: תכנון מפורט נניח שהזיכרון יכול להכיל 20 חוצצים בני 10 רשומות כ"א. (2) במקרה זה ניתן לבצע את 1=W X במעבר יחיד: W דורש 100/10 חוצצים. חוצצים). (שני ונקרא את X סדרתית לזיכרון את W נכניס יישאר מקום לעוד = חוצצים. התוצאה תועבר ישירות ל- 1 Y מבלי לכתוב אותה על הדיסק. המחיר: 10= 100/10 גישות = /10 גישות 30 גישות קריאת W: קריאת X: סה"כ : דוגמה מסכמת: תכנון מפורט (3) בחישוב 2, = 1 Y היחסים לא נכנסים לזיכרון, ולכן נשתמש בערבול. לערבול של 1 אין צורך בחוצצים עבור הקלט. למה? מהפעולה הקודמת נותרו 8 חוצצים, המספר המכסימלי של דליים הוא.8/2 = 4 דיסק. גישות 333/10 = 34 1 הוא חלוקת מחיר לחלוקת Y נזדקק ל- = /10 2 גישות דיסק נוספות. ביצוע הצירוף יחייב את קריאת כל דליי 1 ו- Y, כלומר = גישות דיסק. סה"כ: 158 גישות. 90 מערכות קבצים 89 מערכות קבצים לביצוע הצירוף נקרא דלי שלם של Yלזיכרון, = 8 (300/10)/4 חוצצים. נזדקק לשני חוצצים נוספים כדי לקרוא את הדליים של 1. נותרו 10 חוצצים. (4) דוגמה מסכמת: תכנון מפורט דוגמה מסכמת: תכנון מפורט (5) סה"כ חישוב 1 חישוב 2 חלוקת 2 Z חלוקת ביצוע הצירוף לביצוע 2, Z שוב נשתמש בערבול. נחלק את 2 ל- 5 דליים, תוך שימוש ב- 10 החוצצים שנותרו. הכתיבה תדרוש עוד = /10 גישות. נחלק גם את Zל- 5 דליים. = /10 גישות. נעבור על כל דליי Z: נקרא כל דלי לזיכרון, ונבצע צירוף עם 2. כל דלי של Zיכיל = 8 40/5 חוצצים, ולכן ייכנס כולו לזיכרון. נבצע צירוף במעבר יחיד עם הדלי המתאים של 2. פעולה זו תדרוש את קריאת כל 2 וקריאת Z. סה"כ = גישות גישות דיסק. ניתן לבצע הערכה דומה לדרכים אחרות לחישוב היחס הרצוי, וכך לבחור מביניהן. תרגיל בית: בצעו את החישוב עם לולאות מקוננות, ואח"כ עם גודל זיכרון כפול. 92 מערכות קבצים 91 מערכות קבצים
24 גורמים המשפיעים על מספר הגישות לדיסק סיכום גודל הקלט והפלט אין לנו שליטה על גדלים אלה, והם אינם תלויים באלגוריתם בחירת עץ החישוב נעשה חישוב לכל עץ בנפרד גודלן של תוצאות הביניים (כל הצמתים, פרט לעלים ולשורש) סדר השערוך (evaluation) אלגוריתם השערוך של כל פעולה מבנה כל יחס (האם הוא ממוין? האם יש לו אינדקס?) כמות הזיכרון הפנימי (האם מספיק לשמירת תוצאות ביניים?) האם תוצאות הביניים נשמרות בדיסק או שעושים?pipelining 93 מערכות קבצים חלק ניכר מהפעולות על קבצים כיום נעשות באמצעות מסדי נתונים רלציוניים (טבלאיים). הגדרת הפעולה במסד הנתונים מנותקת מאלגוריתם המימוש. המימוש נבחר (אוטומטית) ע"י תכנית query optimizer של גודלי תוצאות הביניים. והערכות סמך הפעולות הדרושות, על לכל מימוש מעריכים את הזמן הדרוש, ובוחרים את המימוש עם תוחלת הזמן המינימאלית. אפשר לשנות את המימוש אם מתברר שההנחות לא היו נכונות. נגענו רק בקצה המזלג חומר לקורס שלם (מימוש מסדי נתונים) 94 מערכות קבצים
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
השאלות..h(k) = k mod m
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
תורת הגרפים - סימונים
תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
אלגברה רלציונית ניר אדר
גירסה.0 0.3.00 אלגברה רלציונית מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
התפלגות χ: Analyze. Non parametric test
מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא
מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא ערמות פיבונאצ'י Operation Linked List Binary Heap Binomial Heap Fibonacci Heap Relaxed Heap make-heap 1 1 1 1 1 is-empty 1 1 1 1 1 insert 1 log
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )
עצים מאוזנים Lecture 5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds תזכורת: משפחת עצים נקראת מאוזנת אם ( h. = (log עצי -3 ועצי דרגות עצי AVL הם עצים מאוזנים. עצי 3- מהווים דוגמא
אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:
2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X. q 0 q 1. output D FF-0 D FF-1. clk
נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X D FF-0 q 0 q 1 Z D FF-1 output clk 424 מצב המכונה מוגדר על ידי יציאות רכיבי הזיכרון. נסמן את המצב הנוכחי q
3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity
אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
תוכן הפרק: ,best case, average case דוגמאות 1. זמן - נמדד באמצעות מס' פעולות סיבוכיות, דוגמאות, שיפור בפקטור קבוע האלגוריתם. וגודלם. איטרטיביים. לקלט.
פרק סיבוכיות פרק סיבוכיות המושג יעילות מהו? במדעי המחשב היעילות נמדדת בעזרת מדדי סיבוכיות, החשובים שבהם: של אלגוריתמים יעילותם תוכן הפרק: יעילות מהי (זיכרון וזמן, זמן ריצה T( של אלגוריתם מהו, מהם case,
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.
חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
Hash Tables (המשך) ערבול (Hashing)
מילון עם מפתחות שלמים Lecture of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds טבלאות ערבול הפעולות הבסיסיות של מילון הן כזכור חיפוש, הכנסה, והוצאה. אם המפתחות מספרים שלמים בתחום
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות
1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות
אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-
מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות
co ארזים 3 במרץ 2016
אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם
תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:
משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L
אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים
אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n
Domain Relational Calculus דוגמאות. {<bn> dn(<dn, bn> likes dn = Yossi )}
כללים ליצירת נוסחאות DRC תחשיב רלציוני על תחומים Domain Relational Calculus DRC הואהצהרתי, כמוSQL : מבטאיםבורקמהרוציםשתהיההתוצאה, ולא איךלחשבאותה. כלשאילתהב- DRC היאמהצורה )} i,{ F(x 1,x
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי
הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות
מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט
Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.
Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.
ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי
ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ננסה להשתמש בכך שהפונקציה היא רקורסיבית על מנת לרשום גם עבור הסיבוכיות ביטוי רקורסיבי. factorial() 3 מתחילים מכתיבת ביטוי לא מפורש ל-( T( ביטוי רקורסיבי
תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות
תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת
רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות
λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא
דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:
של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ
מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו
TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו
אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות
מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה
תוכנית הקורס cs, Technion 2..3.4 מבני נתונים בסיסיים וסימונים אסימפטוטיים מערכים ורשימות מקושרות עצים ועצי חיפוש עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות.5 רשימות דילוגים סיבוכיות משוערכת.6.7.8.9.0..3.4 מטרת הקורס: מבני
טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
מבני נתונים (234218) 1
מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר
ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5
הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה
TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:
TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד ב ' סמסטר אביב תשס"ו מרצה: אהוד ריבלין מתרגלים: איתן
i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר
Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות.
מילון למחרוזות - Trie Lecture of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds מבני נתונים למחרוזות Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות. המימוש
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
מיונים א': מיון (Sorting) HeapSort. QuickSort תור עדיפויות / ערימה
מיון (Sorting) void BubbleSort(int* A, int n){ for (i = ; i < n-; i++) for (j = n-; j >= i; j--) if ( a[j] > a[j+]) swap(&a[j], &a[j+]); מערך בן מספרים. קלט: מערך ובו המספרים מאוחסנים בסדר עולה (או יורד).
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),
( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.
Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות
1 סכום ישר של תת מרחבים
אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +